针对您提出的“虚开增值税专用发票行政处罚期与刑事追诉期”的问题，我将从行政处罚期和刑事追诉期两个方面进行详细解答。
### 一、行政处罚期
根据《税收征收管理法》第八十六条的规定：“违反税收法律、行政法规应当给予行政处罚的行为，在五年内未被发现的，不再给予行政处罚。”这意味着，如果虚开增值税专用发票的行为在五年内未被税务机关发现，那么将不再对该行为进行行政处罚。
### 二、刑事追诉期
刑事追诉期则相对复杂一些，它取决于虚开增值税专用发票的数额以及是否存在其他严重情节。
1. 基本追诉时效：
- 根据《刑法》第八十七条的规定，法定最高刑为不满五年有期徒刑的，经过五年不再追诉。 - 对于虚开增值税专用发票罪，如果虚开税款数额在10万元以上不满50万元的，法定最高刑为三年有期徒刑，因此其追诉时效期限为五年。2. 其他严重情节的影响：
- 根据最高人民法院、最高人民检察院《关于办理危害税收征管刑事案件适用法律若干问题的解释》第十一条第二款的规定，虚开增值税专用发票罪如果具有“其他严重情节”，如提起公诉前无法追回的税款数额达到三十万元以上、五年内因虚开发票受过刑事处罚或者二次以上行政处罚又虚开发票等，将导致法定刑的升格，即可能处三年以上十年以下有期徒刑，并处五万元以上五十万元以下罚金。 - 在这种情况下，根据《刑法》第八十七条第三项的规定，法定最高刑为十年以上有期徒刑的，经过十五年不再追诉。### 总结
- 行政处罚期：虚开增值税专用发票的行为在五年内未被发现的，不再给予行政处罚。
- 刑事追诉期：基本追诉时效为五年，但如果具有其他严重情节，导致法定刑升格的，追诉时效将延长至十五年。
在办理虚开增值税专用发票罪案件时，不仅要考虑虚开税款的数额，还要考虑是否存在其他严重情节或其他特别严重情节，因为这不仅会影响量刑的适用，也会影响追诉时效期限。希望以上解答能够对您有所帮助。