在父亲去世后，其欠下的债务由谁还这个问题，需要根据具体情况来分析。以下是几种可能的情况及对应的法律解释：

1. 继承人在继承遗产范围内承担债务：

- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条的规定，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超出遗产实际价值的部分，继承人无义务偿还，但自愿偿还的除外。 - 举例来说，如果父亲去世后留下100万元的遗产，同时有80万元的债务，那么继承人需在继承这100万元遗产的范围内偿还这80万元的债务。如果债务超过遗产价值，如债务为120万元，那么继承人只需用100万元遗产来偿还，超出的20万元无需承担。

2. 夫妻共同债务由配偶承担：

- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十四条的规定，夫妻双方共同签名或一方事后追认的债务，以及一方为家庭日常生活需要所负的债务，属于夫妻共同债务。 - 如果父亲所欠的债务属于夫妻共同债务，如为了购买共同居住的房产或家庭日常生活需要而借款，那么母亲作为配偶有义务偿还这部分债务。

3. 放弃继承则不承担债务：

- 如果继承人明确表示放弃继承父亲的遗产，那么根据相关法律规定，其对被继承人依法应当缴纳的税款和债务就可以不必承担偿还责任。

4. 非法债务无需承担：

- 如果父亲所欠的债务是非法债务，如因赌博、吸毒等违法行为而产生的债务，那么继承人无需承担此类债务的偿还责任。

综上所述，父亲去世后欠下的债务由谁还，需要根据债务的性质、是否有遗产、是否为夫妻共同债务以及继承人是否继承遗产等因素来综合判断。如果你有更具体的情况或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的实际情况给出更详细的法律建议。