1. 银行权利：根据法律规定，发卡银行作为债权人，对于持卡人的逾期欠款有依法追讨的权利。不管欠款金额大小，在持卡人逾期不还时，银行都有权提起民事诉讼。因此，信用卡欠款3000元，银行是有起诉权利的。
2. 银行考量：银行在决定是否起诉时，会综合考量多种因素，如持卡人的信用记录、还款意愿、沟通态度等。如果持卡人此前信用记录良好，逾期后有还款意愿且积极和银行沟通，银行通常会先通过电话、短信等方式进行催收，而暂不起诉。
3. 法律后果：若持卡人经多次催收后仍不还款，甚至失联躲避，银行则可能会采取起诉手段。若被认定为恶意透支，还可能面临刑事诉讼。一旦银行起诉并胜诉，持卡人不仅需要偿还欠款，还可能面临财产被强制执行、被列入失信被执行人名单等法律后果。
4. 建议：因此，持卡人发现逾期后，应及时与银行沟通协商，表明还款意愿并尝试制定合理的还款计划。这样不仅可以避免被起诉的风险，还能保护自己的信用记录不受损害。
总之，信用卡欠款3000元虽然金额不大，但仍有被起诉的可能。持卡人应务必重视自己的信用记录，积极与银行沟通协商，确保按时还款，避免不必要的法律纠纷和信用损失。